Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & 1 j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $j$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Paso 2

Multiplica $k$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & k \end{array}]$

Paso 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 3.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Paso 3.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Paso 3.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Paso 3.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Paso 3.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 3.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 3.9

Add the terms together.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} | - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (j k - 3 j (6 k)) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 i (j k - 3 \cdot 6 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$- 3 i (j k - 18 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 4.2.2

Resta $18 j k$ de $j k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 5

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$ .

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 2 i (6 k)) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 12 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 5.2.2

Resta $12 i k$ de $5 i k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Paso 6

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$ .

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Paso 6.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (5 i (3 j) - 2 i j)$

Paso 6.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (15 i j - 2 i j)$

Paso 6.2.2

Resta $2 i j$ de $15 i j$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Paso 7

Simplifica el determinante.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 17$ por $- 3$ .

$51 i (j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Paso 7.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$51 i j k - 2 \cdot - 7 i j k + 4 k (13 i j)$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$51 i j k + 14 i j k + 4 k (13 i j)$

Paso 7.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$51 i j k + 14 i j k + 4 \cdot 13 i k j$

Paso 7.1.5

Multiplica $4$ por $13$ .

$51 i j k + 14 i j k + 52 i k j$

Paso 7.2

Suma $51 i j k$ y $14 i j k$ .

$65 i j k + 52 i k j$

Paso 7.3

Mueve $k$ .

$65 j k i + 52 j k i$

Paso 7.4

Suma $65 j k i$ y $52 j k i$ .

$117 j k i$